�� O (1)

�� : �� O (1), �� , � �� O (N).

��

�� O (1), �� .

�� , � ��: �� , �� . �� , �� , ��

stack[i].second = min { stack[j].first }
                 j = 0..i

��, �� stack.top().second.

�� , �� second �� min (stack.top().second, new_element). �� , �� second �� .

��:

stack< pair<int,int> > st;

�� :

int minima = st.empty() ? new_element : min (new_element, st.top().second);
st.push (make_pair (new_element, minima));

�� :
```
int result = st.top().first;
st.pop();
```
�� :
```
minima = st.top().second;
```

�� . �� 1

�� , �� , �� (�.�. �� , �� ). ��, �� (�� , �� , � �� ), �� . �� (��. ��).

�� , �� , � �� . � ��, �� (�.�. � �� ), ��, ��, �� , � �� . �� . �� "��": �� , �� , �� ; �� . �� , � �� , �� , � � �� , �� , �� -�� . �� , �� , �� - �� . �� - �� , �� ; �� .

�� :

deque<int> q;

�� :
```
current_minimum = q.front();
```

�� :

while (!q.empty() && q.back() > added_element)
	q.pop_back();
q.push_back (added_element);

�� :

if (!q.empty() && q.front() == removed_element)
	q.pop_front();

��, �� O (1).

�� . �� 2

�� O (1), �� , �� : �� , �, � ��, �� .

�� , �� , �� . �� .

�� : s1 � s2; ��, �� , �� O (1). �� s1, � �� - �� s2. �� , �� s2 �� , �� s1 � �� s2 (�� s2 �� , �� ; �� s1 �� ). ��, �� s1 � �� s2.

�� , �� -�� O (1) (�� , �� 1 �� s1, 1 �� s2 � 1 �� s2).

��:

stack< pair<int,int> > s1, s2;

�� :

if (s1.empty() || s2.empty())
	current_minimum = s1.empty ? s2.top().second : s1.top().second;
else
	current_minimum = min (s1.top().second, s2.top().second);

�� :

int minima = s1.empty() ? new_element : min (new_element, s1.top().second);
s1.push (make_pair (new_element, minima));

�� :

if (s2.empty())
	while (!s1.empty()) {
		int element = s1.top().first;
		s1.pop();
		int minima = s2.empty() ? element : min (element, s2.top().second);
		s2.push (make_pair (element, minima));
	}
result = s2.top().first;
s2.pop();

��

�� A �� N, � �� M ≤ N. �� M �� , �.�. ��:

min A[i],    min A[i],    min A[i],    ...,    min A[i]
0≤i≤M-1      1≤i≤M        2≤i≤M+1              N-M≤i≤N-1

�� , �.�. O (N).

�� , �� O (1), �� , �� . �� : �� M �� , �� , �� , � �� , �� , � �.�. �� , �� O (N).

�� , �� , �� , ��, �� (�� i-�� i-�� (i-M)-�� ). �� A �� - �� , i-�� .

����������� ����� � ������� ��� ���������� �������� �� O (1)

����������� �����

����������� �������. ������ 1

����������� �������. ������ 2

������ ���������� �������� �� ���� ����������� ������������� ����� ������� �������

�� O (1)

��

�� . �� 1

�� . �� 2

��